Os irmãos Bernoullis, Leonhard Euler e o problema isoperimétrico – 29/10/2024 – Marcelo Viana

O problema remonta, pelo menos, ao grego Zenodorus (200–140 a.C.), que, no século 2 a.C., já perguntava: “De todas as figuras planas com um perímetro dado, qual tem maior área?”. O seu texto original, “Sobre Figuras Isoperimétricas”, se perdeu. Mas não antes de ter sido lido por Pappus (290–350) e Theon (335–405) de Alexandria, segundo os quais Zenodorus provou que o círculo tem maior área que qualquer polígono regular com o mesmo perímetro e que entre esses polígonos regulares tem maior área o que tiver mais lados.

Os comentários de Pappus, publicados ao final do século 3°, são especialmente curiosos. O volume 5 de suas “Coleções Matemáticas” começa com um prefácio intitulado “A sagacidade das abelhas”, em que atribui a geometria hexagonal quase perfeita da colmeia a “uma certa premeditação matemática” da parte dos insetos. Ele aponta que essa geometria ajuda a armazenar o máximo possível de mel no espaço disponível e usa essa observação para explicar por que o problema isoperimétrico merece ser estudado, “já que temos ainda mais sabedoria do que as abelhas”.

Mas provar rigorosamente que o círculo é realmente a curva com maior área entre todas com um perímetro fixado não estava ao alcance dos matemáticos da Antiguidade, pois exigia avanços matemáticos, como a descoberta do cálculo, que só viriam a acontecer a partir do século 17.

O primeiro progresso importante foi devido aos irmãos Jacob (1654–1705) e Johann (1667–1748) Bernoulli, na década de 1690. Os dois tinham uma relação de intensa rivalidade, que foi crescendo ao longo dos anos até se transformar em ódio mútuo. O fato de ambos trabalharem no problema isoperimétrico, usando ideias parecidas, contribuiu bastante para esse agravamento. Johann chegou a anunciar uma solução, mas estava errada, e Jacob aproveitou para zombar do irmão. Ainda assim, o trabalho de ambos neste e em outros problemas desse tipo marca o início de uma nova disciplina matemática: o cálculo das variações.

Leonhard Euler (1707–1783), que estudou com Johann Bernoulli, também se interessou pelo problema isoperimétrico. Em trabalho publicado em 1744, ele introduziu novas técnicas para abordar o problema, chegando perto de provar que o círculo é realmente a solução da questão, ou seja, a única curva que maximiza a área da região delimitada por ela para cada perímetro fixado.

Os métodos que Euler apresentou foram aprimorados por Joseph-Louis Lagrange (1736–1813) e estão na base do grande progresso que o cálculo das variações teve a partir daí.

A solução completa do problema isoperimétrico só viria a ser alcançada no século 19, com contribuições importantes de diversos matemáticos, como Karl Weierstrass, Bernhard Riemann, Jacob Steiner, John von Neumann, Constantin Carathéodory e outros.

A prova de Steiner é considerada particularmente elegante. Um fato curioso é que ela passa por resolver uma questão relacionada, mas diferente: “De todas as figuras planas com uma área dada, qual tem menor perímetro?”.

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