O caminho da descida mais rápida – 12/11/2024 – Marcelo Viana

Considere dois pontos, A e B, tais que A está mais alto do que B, mas não na mesma vertical. Queremos ligá-los por uma rampa: qual deve ser a forma dessa rampa para que um objeto deslizando nela sem atrito, sob a ação da gravidade, percorra o trajeto entre A e B no menor tempo possível? É o chamado problema da braquistócrona, palavra derivada do grego que significa “tempo mais curto”.

À primeira vista, parece óbvio que a rampa deve ser reta (como a maioria das rampas na vida real, aliás), já que a linha reta corresponde à menor distância entre os dois pontos. O caminho mais curto também deve ser o mais rápido, correto? Só que não, como descobriu Galileu Galilei (1564-1642) em 1638.

Em “Duas Novas Ciências”, ele mostrou que a descida numa rampa em forma de arco de círculo demora menos tempo do que a descida ao longo do segmento de reta que une os extremos desse arco de círculo. A partir dessa observação, Galileu conjecturou que a solução do problema da braquistócrona, isto é, a forma da rampa que corresponde à descida mais rápida, deve ser um arco de círculo.

No entanto, Galileu alertou que os seus métodos eram limitados e que para decidir a questão seria necessária “uma ciência mais elevada”. Tal ciência ainda tardou algumas décadas, e quando chegou mostrou que a conjectura estava errada: a braquistócrona é uma curva muito mais interessante do que um mero arco de círculo.

Por exemplo, se colocarmos dois objetos idênticos em pontos distintos da braquistócrona e deixarmos que deslizem, sempre sob a ação gravitacional e sem atrito, os dois chegarão ao ponto base B exatamente ao mesmo tempo, independentemente do ponto da rampa onde cada um começou. A existência de uma curva com esta propriedade notável foi descoberta em 1659 pelo holandês Christiaan Huygens (1629-1695), que a chamou de tautócrona (também do grego, significando “mesmo tempo”).

A resposta do problema tem diversas aplicações práticas. Por exemplo, projetistas de montanhas-russas, rampas de salto de esqui e “halfpipes” em pistas de skate usam a forma da braquistócrona para obter a maior velocidade possível na parte inferior do percurso a partir da menor variação de elevação. Outra aplicação é no desenho das tubulações em barragens, de forma a extrair o máximo de energia nas turbinas.

Muitos anos atrás, observando o mar agitado que atingia sem cessar o cais norte do porto da Póvoa de Varzim, a pequena cidade do norte de Portugal onde cresci, constatei que o perfil do molhe (paredão de concreto) do cais tinha a forma da braquistócrona. Presumi que esse seria o perfil mais eficaz para quebrar o ímpeto das ondas, embora nunca tenha chegado a verificar essa hipótese.

O problema da braquistócrona tornou-se ainda mais famoso a partir do desafio que o suíço Johann Bernoulli (1667-1748) lançou “aos matemáticos mais brilhantes do mundo” em 1696. Entre aqueles que responderam ao desafio, apresentando diferentes soluções, estavam seu irmão (e desafeto) Jacob Bernoulli (1655-1705) e os dois descobridores do cálculo, Gottfried Leibniz (1646-1716) e Isaac Newton (1643-1727). Comentarei na semana que vem.

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